www.vnmath.com
1
Chương I: LÝ LUẬN CHUNG
§1. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán
1) Biểu hiện của học sinh có năng khiếu
- Có khảnăng thay đổi phương thức hành động đểgiải quyết vấn đềphù hợp với các
thay đổi các điều kiện.
Vd: “Xếp 5 hình vuông bằng 6 que diêm?”
 “ Xếp 3 hình tam giác bằng 7 que diêm?”
“ Xếp 8 hình tam giác bằng 6 que diêm?”
“ Xếp 10 hình tam giác bằng 5 que diêm?”
-  Có  khảnăng chuyển từtrừu tượng khái quát sang cụthểvà từcụthểsang trừu
tượng khái quát
Vd: Cho dãy số5, 8, 11, 14 ...
Tính sốhạng thứ2007 của dãy số?
+ Sốhạng thứhai : 5 + 1 × 3
+ Sốhạng thứba : 5 + 2 × 3
+ Sốhạng thứtư: 5 + 3 × 3
+ Sốhạng thứnăm: 5 + 4 × 3
.....................................
Hãy so sánh mỗi sốhạng với sốhạng đầu và khoảng cách của dãy số đểtìm ra
quy luật?
-  Có  khảnăng xác lập sựphụthuộc giữa các dữkiện theo cảhai hướng xuôi và
ngược lại.
Vd:
+ Sựphụthuộc của tổng các giá trịcủa các sốhạng có thểxác định phụthuộc của
các sốhạng vào sựbiến đổi của tổng.
abc= 20 × (a + b + c)
80 × a = 10 × b + 19 × c  19 × c 10 c = 0
a = 1; b = 8
+ Điều kiện một sốchia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 và ngược lại?
-  Thích  tìm  lời giải một bài toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đềdưới
nhiều khía cạnh khác nhau.
Vd:
 Nói chung tích của 2 sốtựnhiên là một sốlớn hơn mỗi thừa sốcủa nó. Đặt vấn đề
tìm các thí dụphủ định kết luận trên.
- Có sựquan sát tinh tếnhanh chóng phát hiện ra các dấu hiệu chung và riêng, nhanh
chóng phát hiện ra những chỗnút làm cho việc giải quyết vấn đềphát triển theo hướng
hợp lý hơn độc đáo hơn.
- Có trí tưởng tượng hình học một cách phát triển. Các em có khảnăng hình dung ra
các biến đổi hình đểcó hình cùng cùng diện tích, thểtích.
- Có khảnăng suy luận có căn cứ, rõ ràng. Có óctò mò, không muốn dừng lại ở
việc làm theo mẫu, hoặc những cái có sẵn, hay những gì còn vướng mắc, hoài nghi.
Luôn có ý thức tựkiểm tra lại việc mình đã làm.
www.vnmath.com
2
2) Biện pháp sưphạm:
- Thường xuyên củng cốcác kiến thức vững chắc cho học sinh và hướng dẫn các
em đào sâu các kiến thức đã học thông qua các gợi ý hay các câu hỏi hướng dẫn đi sâu
vào kiến thức trọng tâm bài học: Yêu cầu học sinh tựtìm các ví dụminh họa, các phản
ví dụdễ(nếu có), các thí dụcụthểhóa các tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận
dụng và thực hành, kiểm tra các kiến thức tiếp thu, các bài tập đã làm của học sinh.
- Tăng cường một sốbài tập khó hơn trình độchung trong đó đòi hỏi vận dụng
sâu các khái niệm đã học hoặc vận dụng các cách giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn
hoặc phương pháp tổng hợp.
 - Yêu cầu học sinh giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau nếu có thể. Phân
tích so sánh tìm ra cách giải hay nhất, hợp lý nhất.
Vd: Bài toán cổ: “Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Tính sốgà? Sốchó? ’’
- Tập cho học sinh thường xuyên tựlập các đềtoán và giải nó.
Vd: Lập đềtoán vềdạng tìm hai sốkhi biết tổng và hiệu hoặc biết tổng và tỷsố
của hai số.
- Sửdụng một sốbài toán có những chứng minh suy diễn (nhất là toán hình học)
đểdần dần hình thành và bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học.
Vd: Cho ▲ABC có 2 điểm E thuộc AB và F thuộc BC sao cho EA = 3 × EC, FB
= 2 × FC; Gọi I là giao điểm của AF và BE; Tính tỷsốIF : IA và IE : IB.
- Giới thiệu ngoại khóa tiểu sửmột sốnhà toán học xuất sắc đặc biệt là những nhà
toán học trẻtuổi và một sốphát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt là tấm gương
những nhà toán học trong nước, những học sinh giỏi toán ở địa phương đã thành đạt
trong cuộc sống thếnào đểgiáo dục tình cảm yêu thích môn toán và kính trọng các nhà
toán học.
- Tổchức dạhội toán học, thi đốtoán học và nếu có điều kiện tổchức “ câu lạc bộ
các học sinh yêu toán”
- Bồi dưỡng cho các em phương pháp học toán và cách tựtổchức tựhọc ởnhà
cùng gia đình.
- Kết hợp việc bồi dưỡng khảnăng học toán với việc học tốt môn Tiếng Việt
đểphát triển dần khảnăng sửdụng ngôn ngữ.
§2. SUY LUẬN TOÁN HỌC
1) Suy luận là gì?
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từmột hay nhiều mệnh đềcho trước rút ra mệnh
đềmới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đềcủa suy luận. Mệnh đềmới được rút ra
gọi là kết luận hay hệquả.
Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn Y
www.vnmath.com
3
Nếu X1, X
2,..., Xn Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ
quảlogic
Ký hiệu suy luận logic:
12, ,....,
n X XX
Y
2) Suy diễn
Suy diễn là suy luận hợp logic đi từcái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ
cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đềmới từ
cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic.
- Quy tắc kết luận:
, X YX
Y

 - Quy tắc kết luận ngược:
, X YY
X

 - Quy tắc bắc cầu:
, X YY Z
XZ

 - Quy tắc đảo đề:
X Y
YX


 - Quy tắc hoán vịtiền đề:
 
 X YZ
YXZ


 - Quy tắc ghép tiền đề:
  X YZ
X YZ


 -
X YZ
X Y


X YZ
X Z


3) Suy luận quy nạp:
Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từcái đúng riêng tới kết luận chung, từcái ít
tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc
chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ởtrên cơsởnhận xét kiểm tra đểrút ra kết luận.
Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thểsai, có tính
ước đoán.
Vd: 4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
10 = 7 + 3
................
Kết luận: Mọi sốtựnhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 sốnguyên tố.
a) Quy nạp không hoàn toàn :
 Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉdựa vào một sốtrường hợp cụ
thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉcó tính chất ước
đoán, tức là nó có thể đúng, có thểsai và nó có tác dụng gợi lên giảthuyết.
Sơ đồ:
 A1 , A2 , A3 , A4 , A5... Anlà B
  A1 , A2 , A3 , A4 , A5... A
n là 1 sốphần tửcủa A
  Kết luận: Mọi phần tửcủa A là B
 Vd: 2 + 3 = 3 + 2
4 + 1 = 1 + 4
www.vnmath.com
4
......
 Kết luận: Phép cộng của hai sốtựnhiên có tính chất giao hoán
b) Phép tương tự:
 Là phép suy luận đi từmột sốthuộc tính giống nhau của hai đối tượng đểrút ra
kết luận vềnhững thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết luận của phép
tương tựcó tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thểsai và nó có tác dụng gợi
lên giảthuyết.
Sơ đồ: A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c
Kết luận : B có thuộc tính d .
Vd: + Tính tổng :
S =
1
12
+
1
23
+
11.... +
3 4 99 100

111
12 1 2
111
23 2 3
..........
111 99 100 99 100
11
1 100
S


 
 

Tương tựtính tổng: P =
1
123  
+
1
234  
+
11.... +
3 4 5 99 100 101

  
1111 = ( -  )  
123 12 23 2

  
1111 = ( -  )  
234 23 34 2

  
………….
1111 = ( -  )  
99 100 101 99 100 100 101 2

   Từ  đây dễdàng tính
đươc P
c) Phép khái quát hóa:
 Là phép suy luận đi từmột đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa
đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể
đúng, có thểsai và nó có tác dụng gợi lên giảthuyết.
 Vd: Phép cộng hai phân số(Lớp 4)
*
32?
88
 
 Ta có : 32 32 5
88 8 8

 
 Suy ra quy tắc chung vềcộng hai phân sốcùng mẫu số.
*
11?
23

www.vnmath.com
5
 Ta có: 1133
2236


112 2
3326


Cộng hai phân số:
11 32 5
2366 6

 Suy ra quy tắc chung cộng hai phân sốkhác mẫu số.
Vd: Chia một tổng cho một số( Lớp 4)
  -Tính và so sánh hai biểu thức :
   (35 + 21) : 7 và 35 : 7 +21 : 7   -Ta có: (35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8
35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8
-Vậy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7
 - Suy ra quy tắc chung chia một tổng cho một số.
c) Phép đặc biệt hóa:
 Là phép suy luận đi từtập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏhơn chứa
trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừcác trường
hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thểsai và nó có
tác dụng gợi lên giảthuyết.
 Trong toán học phép đặc biệt hóa có thểxảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn
hay suy biến: Điểm có thểcoi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thểcoi là tứ
giác khi một cạnh có độdài bằng 0;Tiếp tuyến có thểcoi là giới hạn của cát tuyến của
đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó.
§ 3 Hai phương pháp chứng minh toán học ởTiểu học
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:
 Nội dung:Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ
điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh.
Cơsở:Quy tắc lôgíc kết luận
Sơ đồ:A B C ...  Y X
Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệquảlôgíc của A; C là hệ
quảlôgíc của B; ..... ; X là hệquảlôgíc của Y.
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễgây ra khó khăn đột ngột, không tự
nhiên vì mệnh đềchọn làm mệnh đềxuất phát nếu là mệnh đề đúng đã biết nào đó thì
nó hoàn toàn phụthuộc vào năng lực của từng học sinh.
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từmệnh đềtiền đề
ta dễsuy luận trực tiếp ra một hệquảlogic của nó.
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sửdụng rộng rãi trong trình bày
chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ởtrường phổthông.
Ví dụ:Bài toán
 “ Hiện nay tuổi của bốgấp 4 lần tuổi của con và tổng sốtuổi của hai bốcon là 50
tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi của bốgấp 2 lần tuổi của con?”
 “ Cho tứgiác lồi ABCD và M, N, P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh AB,
BC, CD, DA. Biết diện tích của của MNPQ là 100 cm
2
, hãy tính diện tích của rứgiác
ABCD? ”       
www.vnmath.com
6
2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh
suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước
hoặc đã biết nào đó.
Cơsở:Quy tắc lôgíc kết luận.
Sơ đồ:X Y ... B A
Trong đó: X là mệnh đềcần chứng minh; Y là tiền đềlôgíc của X ; ..... ; A là
tiền đềlôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tựnhiên, thuận tiện vì mệnh đề
chọn làm mệnh đềxuất phát là mệnh đềcần tìm, mệnh đềcần chứng minh, hay mệnh
đềkết luận.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì thường
từmệnh đềchọn là mệnh đềkết luận ta có thểtìm ra nhiều mệnh đềkhác nhau làm tiền
đềlogic của nó.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sửdụng rộng rãi trong
phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ởtrường
phổthông.
Ví dụ:Bài toán
 “ Hai vòi nước cùng chảy vào một bểkhông chứa nước sau 12 giờthì đầy bể.
Biết rằng lượng nước mỗi giờchảy vào bểcủa vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước của vòi 2
chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”
www.vnmath.com
7
Chương II: CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
§1. CẤU TẠO SỐTỰNHIÊN
Bài 1:
Tìm một sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng nếu lấy chữsốhàng chục chia cho
chữsốhàng đơn vịthì được thương là 2 dư2, chữsốhàng trăm chia cho chữsốhàng
đơn vịthì được thương là 2 dư1.
Hd:
+ Gọi sốcần tìm là abc, (a, b, c là các chữsốtừ0 đến 9, a khác 0).
Ta có: b = c 2 + 2. Chữsốhàng đơn vịphải lớn hơn 2 ( vì sốdưlà 2). Chữsố
hàng đơn vịcũng không thểlớn hơn 3 (vì nếu chẳng hạn bằng 4 thì b = 4 x 2 + 2 = 10).
Vậy suy ra c = 3.     
+ Ta thấy: b = 3 x 2 + 2 = 8. Theo đềbài ta lại có: a = c x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 = 7.
Thửlại: 8 = 3 2 + 2; 7 = 3 2 + 1.   
Bài 2:
Tìm một sốtựnhiên có 4 chữsố, biết rằng nếu lấy số đó cộng với tổng các chữsố
của nó thì được 2000.
Hd:
 + Giảsửsố đó là  10 , , , 0 ; 0 ,    d c b a a abcd
Theo đềbài ta có 2000 - abcd= a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd.
Lập luận đểcó ab= 19.   
+ Từ đó tìm được c = 8 và d = 1.
Thửlại: 2000 – 1981 = 1 + 9 + 8 + 1 = 19.
Vậy sốcần tìm là 1981.   
Bài 3:
Tìm sốtựnhiên A có 2 chữsố, biết rằng B là tổng các chữsốcủa A và C là tổng
các chữsốcủa B, đồng thời cho biết A = B + C + 51.
Hd:
+ GiảsửA = ab,  0;0 , 10 aab .
Lập luận đểcó C là sốcó một chữsốc nên  51     c b a ab hay  51 9    c a
Từ  51 9    c a lập luận đểcó a = 6.     
+ Từa = 6 tìm được c = 3.
Nên sốphải tìm là  b 6 . Xét lần lượt 60, … , 69 ta thấy chỉcó 66 là cho kết quảc
= 3. Thửlại: 12 + 3 + 51 = 66.
Vậy 66 là sốcần tìm.   
Bài 4:
Tìm một sốtựnhiên có hai chữsố, biết rằng khi chia số đó cho hiệu của chữsố
hàng chục và chữsốhàng đơn vịthì được thương là 15 và dư2.
Hd:
+ Gọi sốphải tìm là  ) 10 , ; 0 ( ,   b a a ab
Theo đầu bài ta có ab= (a – b) 15 +2
Hay b 16 = a 5 + 2
www.vnmath.com
8
Nếu a lớn nhất là 9 thì a 5 + 2 lớn nhất là 47.
Khi đó b 16 lớn nhất là 47 nên b lớn nhất là 2 (vì 47 : 16 = 2 dư15)
+ Vì a 5 + 2 0 nên b 0.
b = 1 thì a = 14 : 5 (loại)
b = 2 thì a = 6.
Thửlại. (6 – 2) 15 + 2 = 62.
Sốphải tìm là 62.   
Bài 5:
Tìm một sốcó 2 chữsố, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữsốcủa nó
thì được thương là 5 dư12.
Hd:
+ Gọi sốphải tìm là ab, ( 0 a, b < 10, a 0).
Ta có ab= 5 (a + b) + 12, với a + b > 12.
Sau khi biến đổi ta có: 5 a = 4 b + 12.
+ Vì 4 b + 12 chia hết cho 4 nên : 5 a , suy ra a = 4 hoặc a = 8, thay vào ta
tìm được a = 8. Thửlại thấy thoảmãn.
Kết luận: Sốphải tìm là 87.   
Bài 6:
Tìm một sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ
sốcủa nó thì được thương là 11.
Hd:
+ Gọi sốcần tìm là abc, (a, b, c là các chữsốtừ0 đến 9, a khác 0).
()11 abc a b c (theo bài ra)
100 10 11 11 11 abcabc (cấu tạo sốvà nhân một sốvới một tổng)
89 10 ab c  (cùng bớt đi 11 10 abc  )
89 1, 89 198 a cb a cb abc     
Bài 7:
Tìm sốchia và thương của một phép chia có dưmà sốbịchia là 5544, các sốdư
lần lượt là 10, 14 và cuối cùng là 9.
Hd:
- Lập luận đểcó thương là sốcó 3 chữsố, còn sốchia là
sốcó 2 chữsố.
- Mô phỏng quá trình chia:
- Tìm 3 tích riêng tương ứng với 3 lần chia có 3 sốdưlà
10, 14, 9.
+ Tích của sốchia và chữsốhàng cao nhất của thương là
55 – 10 = 45
+ Tích của sốchia và chữsốhàng cao thứ2 của thương là 104 – 14 = 90.
…
5544
-….
104
-….
144
-….
9
…
www.vnmath.com
9
+ Tích của sốchia và chữsốhàng cao thứ3 của thương 114 – 9 = 135
Trong 3 tích riêng có số45 là sốlẻvà nhỏnhất nên sốchia là sốlẻ, mà số45 chỉ
chia hết cho sốcó 2 chữsốlà 45. Vậy sốchia là 45, thương là 123.
Bài 8:
Khi nhân một sốtựnhiên với 2008, một học sinh đã quên viết một chữsố0 ởsố
2008 nên tích đúng bịgiảm đi 221400 đơn vị. Tìm thừa sốchưa biết.
Hd:
Thừa số đã biết là 2008, nhưng đã viết sai thành 208. Thừa sốnày bịgiảm đi
2008 – 208 = 1800 (đvị).
Thừa sốchưa biết được giữnguyên, thừa số đã biết bịgiảm đi 1800 đơn vịthì
tích bịgiảm đi là 1800 lần thừa sốchưa biết.
Theo đềbài sốgiảm đi là 221400. Vậy thừa sốchưa biết là 221400 : 1800 =
123.
Bài 9:
Tìm sốtựnhiên có 2 chữsố, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữsố
hàng chục và chữsốhàng đơn vị, ta được thương là 28 dư1.
Hd:
Gọi sốphải tìm là ab, ( 0 a, b < 10, a 0).
Ta có ab= (a – b) 28 + 1.
Khi đó 0 < a – b < 4 vì nếu không thì abkhông phải là sốcó 2 chữsố.
Nếu a – b = 1 thì ab= 29 loại vì a không trừ được cho b.
Nếu a – b = 2 thì ab= 57 loại vì a không trừ được cho b.
Nếu a – b = 3 thì ab= 85 chọn vì a – b = 8 – 5 = 3.
Bài 10:
Tìm sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng số đó gấp 20 lần tổng các chữsốcủa nó.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abc= (a + b + c) 20.
Vếtrái có tận cùng là 0 nên vếphải có tận cùng là 0, hay c = 0.
khi đó ta có: 8 a = b suy ra a = 1, b = 8.
Thửlại: 180 = (1 + 8 + 0) 20.
Bài 11:
Tìm sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữsốcủa nó.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abc= 5 a b c. Điều này chứng tỏ  5 abc , tức là c = 0
hoặc c = 5.
www.vnmath.com
10
Dễthấy c = 0 vô lý ( Loại)     
Với c = 5: Ta có  5 25 ab  . Vậy suy ra b = 2 hoặc b = 7.
Với b = 2 vô lý (Loại)
Với b = 7: Suy ra a = 1. Sốphải tìm 175.
Bài 12:
Tìm sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng nếu chuyển chữsốcuối lên trước chữsố
đầu ta được sốmới hơn số đã cho 765 đơn vị.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: cab - abc = 765
11 c = 85 + b + 10 a
Vì 85 + b + 10 a 95 11 c 95 c = 9
14 = b + 10 a a = 1, b = 4.
Vậy sốphải tìm là 149.
Bài 13:
Tìm sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng nếu ta xóa chữsốhàng trăm đi ta được số
mới giảm đi 7 lần so với sốban đầu.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abc = 7  bc 
a  100 = 6  bc  
a  50 = 3  bc    a là bội của 3  a = 3, bc = 50
Vậy sốphải tìm là 350
Bài 14:
Tìm sốtựnhiên có 3 chữsố, biết rằng nếu ta viết số đó theo thứtựngược lại ta
được sốmới lớn hơn hơn số đã cho 693 đơn vị.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: cba - abc = 693
99 (c – a) = 693
c – a = 693 : 99 = 7   
a = 1, c = 8 ; a = 2, c = 9 và b = 0, 1, 2, … , 9
Bài 15:
Tìm sốtựnhiên có 4 chữsốcó chữsốhàng đơn vịlà 5, biết rằng nếu chuyển chữ
số5 lên đầu thì ta được sốmới giảm bớt đi 531 đơn vị.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abc5 , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abc5 - 5abc = 531
 abc  10 + 5 - ( 5000 + abc) = 531   
www.vnmath.com
11
abc = 614 Vậy sốphải tìm là: 6145
Bài 16:
Tìm sốtựnhiên có 4 chữsố, biết rằng nếu xóa chữsốhàng chục và chữsốhàng
đơn vịthì ta được sốmới giảm đi 4455 đơn vị.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abcd - ab = 4455
  cd = 99  ( 45 - ab )     ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = 1
Nếu ( 45 - ab ) = 0: Sốphải tìm là 4500
Nếu ( 45 - ab ) = 1: Sốphải tìm là 4499
Bài 17:
Tìm sốtựnhiên có 4 chữsố, biết rằng nếu viết số đó theo thứtựngược lại thì ta
được sốmới gấp 4 lần sốban đầu.
Hd:
Gọi sốphải tìm là abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: abcd  4 = dcba 
a = 1 hoặc a = 2 vì nếu a 3 thì tích abcd 4   không là sốcó 4 chữsố
Nếu a = 1: Ta có 1bcd  4 = dcb1   đây là điều vô lý.
Nếu a = 2: Ta có 2bcd  4 = dcb2   4 d có tận cùng là 2
d = 3 hoặc d = 8.
 Nếu d = 3: Ta có 2bc3  4 > 3cb2  là vô lý
 Nếu d = 8: Ta có 2bc8  4 = 8cb2    390 b + 30 = 60 c
39 b + 3 = 6 c b = 1, c = 6
Vậy sốphải tìm là: 2168
Bài 18:
Tìm sốtựnhiên biết rằng nếu viết thêm chữsố0 vào giữa chữsốhàng chục và
chữsốhàng đơn vịthì ta được sốmới gấp 7 lần sốban đầu.
Hd:
Vì sốphải tìm có chữsốhàng chục và chữsốhàng đơn vịnên nó ít nhất phải là
sốcó 2 chữsố. Vậy gọi sốphải tìm là Ab , ( 0 b < 10, A > 0).
Theo bài ra ta có: Ab  7 = A0b 
b 6 = A 5 6  b = A 5  b = 5 (Vì A > 0) A = 1.
Sốphải tìm là 15.
Bài 19:
Tìm sốtựnhiên biết rằng nếu viết thêm chữsố0 vào giữa chữsốhàng chục và
chữsốhàng trăm thì ta được sốmới gấp 6 lần sốban đầu.
Hd:
Vì sốphải tìm có chữsốhàng chục và chữsốhàng trăm nên nó ít nhất phải là số
có 3 chữsố. Vậy gọi sốphải tìm là Abc , ( 0 b, c < 10, A > 0).
www.vnmath.com
12
Theo bài ra ta có: Abc  6 = A0bc 
  bc  5 = A  80  5     bc = A  80      bc = 80(Vì A > 0)
A = 1. Sốphải tìm là 180.
§2. DÃY SỐCÁCH ĐỀU
Bài 1:
Cho dãy số2, 4, 6, 8, ..., 2006.
a) Dãy này có bao nhiêu sốhạng? Sốhạng thứ190 là sốhạng nào?
b) Chữsốthứ100 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Sốcác sốhạng: (2006 – 2) : 2 + 1 = 1003.
Sốhạng thứ190 là: (190 – 1) 2 + 2 = 380
b) Dãy số2, 4, 6, …, 98 có 4 + [(98 – 10) : 2 + 1] 2 = 94 chữsố.
Vì 94 < 100 nên chữsốthứ100 phải nằm trong dãy số100, 102, 104, …, 998.
Chữsốthứ100 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốthứ100 – 94 = 6 của
dãy số100, 102, 104, …, 998. Vậy chữsốthứ100 là chữsố2.
Bài 2:
 Cho dãy số11, 13, 15, ..., 175.
a) Tính sốchữsố đã dùng đểviết tất cảcác sốhạng của dãy số đã cho. Chữsố
thứ136 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
b) Tính tổng các sốhạng của dãy số đã cho.
Hd:
a) Dãy số11, 13, …, 99 có [(99 – 11) : 2 + 1] 2 = 90 chữsố. Dãy số101, 103,
…, 175 có [(175 – 101) : 2 + 1] x 3 = 114 chữsố. Sốcác chữsố đã sửdụng
trong dãy đã cho là: 90 + 114 = 204 (chữsố)
+ Vì 204 > 136 > 90 nên chữsốthứ136 phải nằm trong dãy số101, 103, …,175.
Chữsốthứ136 của dãy số11, 13, 15,..., 175 là chữsốthứ136 – 90 = 46 của dãy số
101, 103, …, 175.
+ Ta có: 46 : 3 = 15 (dư1).
+ Tìm được sốhạng thứ16 của dãy số101, 103, …, 175 là 131.
Vậy chữsốthứ136 của dãy đã cho là 1.
b) Sốsốhạng của dãy số đã cho là 45 + 38 = 83.
Vậy suy ra:11 + 13 + 15 + … + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719
Bài 3:
Cho dãy số4, 8, 12, 16, ...
a) Xét xem các số2002 và 2008 có thuộc dãy số đã cho không? Nếu nó thuộc thì
cho biết sốthứtựtrong dãy của nó.
b) Chữsốthứ74 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Đặc điểm của dãy số đã cho là các sốhạng của dãy đều chia hết cho 4. Số
2002 không chia hết cho 4 nên không thuộc dãy số đã cho. Số2008 chia hết cho 4 nên
thuộc dãy số đã cho.
Sốthứtựtrong dãy của số2008 là (2008 – 4) : 4 + 1 = 502.
b) Trong dãy 12, 16, 20, …, 96 có [(96 – 12) : 4 + 1] × 2 = 44 chữsố. Vậy chữsố
thứ74 của dãy số đã cho là chữsốthứ74 – 2 – 22 × 2 = 28 của dãy số100, 104, 108,
…
www.vnmath.com
13
Ta có 28 : 4 = 7 nên chữsốthứ28 của dãy số100, 104, 108, … là chữsốcuối
cùng của sốhạng thứ7 của dãy số100, 104, 108, … Chữsốcần tìm là 4.
Bài 4:
Cho dãy số11, 14, 17, 20, …
a) Chữsốthứ166 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
b) Tính tổng của 130 sốhạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Hd:
a) Dãy số11, 14, 17, …, 98 có sốchữsốlà: [(98 – 11) : 3 + 1] × 2 = 60 .
Dãy số101, 104, 107, …, 998 có sốchữsốlà: [(998 – 101) : 3 + 1] × 3 = 900.
Vì 60 < 166 < 900 nên chữsốthứ166 phải nằm trong dãy số101, 104, …, 998.
Chữsốthứ166 của dãy số đã cho là chữsốthứ166 – 60 = 106 của dãy số
101, 104, …, 998.
Ta có: 106 : 3 = 35 (dư1) nên chữsốthứ166 của dãy số đã cho là chữsố đầu
tiên của sốhạng thứ36 trong dãy số101, 104, …, 998.
Sốhạng thứ36 trong dãy số101, 104, …, 998 là 206. Vậy chữsốcần tìm là 2.
b) Sốhạng thứ130 là 398. Vậy tổng là (11 + 398) × 100 : 2 = 20450.
Bài 5:
Cho dãy số1, 3, 5, 7, ..., 2009.   
a) Dãy này có bao nhiêu sốhạng? Sốhạng thứ230 là sốhạng nào?
b) Chữsốthứ100 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Sốcác sốhạng: (2009 – 1) : 2 + 1 = 1005.
Sốhạng thứ230 là: (230 – 1) 2 + 1 = 459
b) Chữsốthứ100 là chữsố0.
Bài 6:
Cho dãy số10, 12, 14,..., 138.
a) Chữsốthứ103 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
b) Tính tổng các sốhạng của dãy số đã cho.
Hd:
a) Sốcác chữsố được sửdụng trong dãy 10, 12, … 96, 98 là 2 45 = 90 (chữ
số).
Vì 103 > 90 nên chữsốthứ103 của dãy số đã cho phải nằm trong dãy số100,
102, …, 138. Chữsốthứ103 của dãy số đã cho là chữsốthứ103 – 90 = 13 của dãy số
100, 102, …, 138.
+ Ta có: 13 : 3 = 4 (dư1) nên chữsốthứ103 của dãy số đã cho là chữsố đầu
tiên của sốhạng thứ5 trong dãy số100, 102, …, 138.
Sốhạng thứ5 trong dãy số100, 102, …, 138 là 108. Vậy chữsốcần tìm là 1.
b) Sốcác sốhạng của dãy là (138 – 10) : 2 + 1 = 65
Vậy 10 + 12 + 14 + … + 138 = (10 + 138) 65 : 2 = 4810.
Bài 7:
Cho dãy số101, 102, 103, …, 1000, 1001, ..., 2005
www.vnmath.com
14
a) Dãy này có bao nhiêu sốhạng? Sốhạng thứ75 là sốhạng nào?
b) Tính sốchữsố đã dùng đểviết tất cảcác sốhạng của dãy số đã cho. Chữsố
thứ116 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Sốsốhạng là (2005 – 101) : 1 + 1 = 1905.
Sốhạng thứ75 là (75 – 1) × 1 + 101 = 175.
b) Sốchữsốlà 899 × 3 + 1006 × 4 = 8721.
Vì có: 116 < 899 3 nên chữsốthứ116 thuộc dãy số101, 102, …999.
Ta oó 116 : 3 = 38 (dư2) nên chữsốthứ116 là chữsốthứ2 của sốhạng thứ39
của dãy số đã cho. Sốhạng thứ39 là (39 – 1) 1 + 101 = 139. Vậy chữsốcần tìm là
chữsố3.     
Bài 8:
Cho dãy số11, 16, 21, 26, 31, ...
a) Tính sốchữsố đã dùng đểviết các sốhạng của dãy số đã cho kểtừsốhạng
đầu tiên đến sốhạng 2001. Chữsốthứ124 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsố
nào?
b) Tính tổng của 203 sốhạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Hd:
a) [(96 – 11) : 5 + 1] 2 + [(996 – 101) : 5 + 1] 3] + 1 4 = 18 2 + 180 3 +
1 4 = 580.
Ta có 18 2 < 124 < 180 3 nên chữsốthứ124 thuộc dãy sốcó ba chữsố101,
106, …, 996.
Chữsốthứ124 của dãy số đã cho là chữsốthứ124 – 18 2 = 88 của dãy số
101, 106, …, 996.
Ta có 88 : 3 = 29 (dư1) nên chữsốthứ88 dãy số101, 106, …, 996 là chữsốthứ
1 của sốhạng thứ30 của dãy số101, 106, …, 996. Sốhạng thứ30 là (30 – 1) 5 + 101
= 246. Vậy chữsốcần tìm là chữsố2.
b) Sốhạng thứ203 là (203 – 1) 5 + 11 = 1021.
Tổng là (11 + 1021) 203 : 2 = 104748.
Bài 9:
Cho dãy số2, 5, 8, 11, …, 2009.
a) Dãy này có bao nhiêu sốhạng? Sốhạng thứ99 là sốhạng nào?
b) Chữsốthứ50 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Sốcác sốhạng: (2009 – 2) : 3 + 1 = 670.
Sốhạng thứ99 là: (99 – 1) 3 + 2 = 296.
b) Dãy số2, 5, 8 có 3 chữsố. Dãy số11, 14, 17, …, 98 có[(98 – 11) : 3 + 1] 2
= 60 chữsố. Có 3 < 50 < 60 nên chữsốthứ50 của dãy số đã cho thuộc dãy số11, 14,
17, …, 98.
Chữsốthứ50 của dãy số đã cho là chữsốthứ50 – 3 = 47 của dãy số11, 14, 17,
…, 98.
www.vnmath.com
15
Ta có 47 : 2 = 23 (dư1) nên chữsốthứ47 dãy số11, 14, 17, …, 98 là chữsốthứ
1 của sốhạng thứ24 của dãy số11, 14, 17, …, 98. Sốhạng thứ24 là (24 – 1) 3 + 11 =
80. Vậy chữsốcần tìm là chữsố8.   
Bài 10:
Cho dãy số1, 5, 9, 13, …
a) Chữsốthứ135 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
b) Tính tổng của 200 sốhạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Hd:
a) Dãy số1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có 3 + [(97 – 13) : 4 + 1] 2 = 47 chữsố.
Dãy số101, 105, 109, …, 997 có[(997 – 101) : 4 + 1] 3 = 675 chữsố. Vì 47 < 135 <
675 nên chữsốthứ135 phải nằm trong dãy số101, 105, …, 997.
Chữsốthứ135 của dãy số101, 105, …, 997 là chữsốthứ135 – 47 = 88 của
dãy số101, 105, …, 997.
Ta có: 88 : 3 = 29 (dư1) nên chữsốthứ88 dãy số101, 105, …, 997 là chữsố
thứ1 của sốhạng thứ30 của dãy số101, 105, …, 997. Sốhạng thứ30 là (30 – 1) 4 +
101 = 217. Vậy chữsốcần tìm là chữsố2.
b) Sốhạng thứ200 là (200 – 1) 4 + 1 = 797.
Tổng là (1 + 797) 200 : 2 = 79800.
Bài 11:
Cho dãy số5, 8, 11, …
a) Tính tổng của 205 sốhạng đầu tiên của dãy số đã cho?
b) Chữsốthứ135 được dùng đểviết dãy số đã cho là chữsốnào?
Hd:
a) Sốhạng thứ204 trong dãy sốlà: [(204 – 1) 3] + 5 = 620
Tổng của 204 sốhạng đầu của dãy: (620 + 5) 102 = 62500 + 1250 = 63750
Tổng của 204 sốhạng đầu của dãy: 63750 + 623 = 64373
b) Sốcó 1 chữsốtrong dãy là: (8 – 5) : 3 + 1 = 2
Sốcó 2 chữsốtrong dãy là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30
Sốcó 3 chữsốtrong dãy là: (998 – 111) : 3 + 1 = 330
Ta có 2 1 + 30 2 < 135 < 330 3 nên chữsốthứ135 thuộc dãy sốcó ba chữ
số101, 104, …, 998.
Chữsốthứ135 của dãy số đã cho là chữsốthứ135 – 30 2 - 2 = 63 của dãy số
101, 104, …, 998.
Ta có 63 : 3 = 21 (dư0) nên chữsốthứ63 dãy số101, 104, …, 998 là chữsốthứ
3 của sốhạng thứ21 của dãy số101, 104, …, 998. Sốhạng thứ21 là (21 – 1) 3 + 101
= 161. Vậy chữsốcần tìm là chữsố1
Bài 12:
Tính tổng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + ….. + 98, 99 + 99, 100
Hd:
 S = (10 + 11 + 12 + ….. + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + ….. + 0, 98 + 0, 99)
 = [(99 100) : 2 – (9 10) : 2] + [(99 100) : 2 – (9 10) : 2 : 100]
 = 4905 +  49, 05
= 4954, 05       
www.vnmath.com
16
Bài 13:
Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + …… - 1000 + 1001
Hd:
 S = 1 + (3 – 2) + (5 - 4) + …… + (1001 – 1000)
 = 1 + 1 + 1 + ……+ 1   = 1 + [(1001 – 2) : 1 + 1] : 2 = 501    
Bài 14:
Cho dãy số
1
3
,
2
3
3
, 7,
1
10
3
, …
a) Xác định sốhạng thứ2009 của dãy số đã cho?
b) Trong 2009 sốhạng đầu của dãy có bao nhiêu sốtựnhiên? Tính tổng của tất
cảcác sốtựnhiên đó?
Hd:
a)  Ta thấy dãy sốtrên là dãy sốcách đều với khoảng cách d =
10
3
Vậy sốhạng thứ2009 trong dãy sốtrên là:
10 1 20081
(2009 - 1)  +  =
33 3 
b) Sốhạng thứ2007 trong dãy sốtrên là:
10 1
(2007 - 1)  +  = 669
33 
Dãy sốtựnhiên có trong 2009 sốhạng đầu của dãy là: 7, 17, 27, …, 669
Từ đây dễdàng suy ra kết quảvới dãy sốtựnhiên cách đều
Bài 15:
 a) Tìm x biết:
  (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155
 b) Tính tổng:
  S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - ….. – 7, 8 – 8, 9
Hd:
 a) Ta có:
  x + 1 + x + 4 + x + 7 + …… + x + 28 = 155
  (x + x + ….. + x) + (1 + 4 + 7 + ….. + 28) = 155
10 x + 145 = 155
       x = 1
 b) Ta có:
 S = 9, 8 + 8, 7 + …… + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - ….. – 7, 8 – 8, 9
 = (2, 1 – 1, 2) + (3, 2 – 2, 3)+ ….. (8, 7 – 7, 8) + (9, 8 – 8, 9)
 = 1, 1 8 = 8, 8
§3. TOÁN VỀTUỔI
Bài 1:
www.vnmath.com
17
Năm nay, tuổi cô gấp 8 lần tuổi cháu. Mười hai năm sau, tuổi cô gấp 2, 4 lần
tuổi cháu. Tính tuổi của hai cô cháu hiện nay.
Hd:
Hiệu sốtuổi của hai cô cháu hiện nay là: 8 – 1 = 7 (lần tuổi cháu hiện nay)
Hiệu sốtuổi của hai cô cháu khi tuổi cô gấp 2, 4 lần tuổi cháu là 2, 4 – 1 = 1, 4
(lần tuổi cháu lúc đó)
Vì hiệu sốtuổi của 2 cô cháu không thay đổi theo thời gian nên: 7 lần tuổi cháu
hiện nay = 1, 4 lần tuổi cháu lúc đó.
Hay cách khác: 1lần tuổi cháu hiện nay = 0, 2 lần tuổi cháu lúc đó
Ta có sơ đồ:
Tuổi cháu hiện nay là 12 : (5 – 1) 1 = 3 (tuổi)
Tuổi cô hiện nay là 3 8 = 24 (tuổi)
Bài 2:
Hiện nay tuổi cha gấp 5 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 17 lần tuổi
con.Tính tuổi của cha và của con hiện nay.
Hd:
Hiệu sốtuổi của hai cha con hiện nay là: 5 – 1 = 4 (lần tuổi con hiện nay)
Hiệu sốtuổi của hai cha con khi tuổi cha gấp 17 lần tuổi con là 17 – 1 = 16 (lần
tuổi con lúc đó)
Vì hiệu sốtuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian nên: 4 lần tuổi con
hiện nay = 16 lần tuổi con khi đó.
Hay cách khác: 1lần tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con lúc đó
Ta có sơ đồ:
Tuổi con hiện nay là: 6 : (4 – 1) 4 = 8 (tuổi)
Tuổi cô hiện nay là : 8 5 = 40 (tuổi)
Bài 3:
Năm nay tuổi của 2 cha con cộng lại bằng 36. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha
hiện nay thì tuổi con bằng
5
9
tuổi cha lúc đó. Tìm tuổi 2 cha con hiện nay.
Hd:
Nếu coi tuổi con sau này là 5 phần thì tuổi cha sau này là 9 phần nhưthế. Khi đó
hiệu sốtuổi của 2 cha con là 9 – 5 = 4 (phần)
Vì hiện nay tuổi cha bằng tuổi con sau này nên hiện nay tuổi cha chiếm 5 phần
mà hiệu sốtuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian (hiệu là 4 phần) nên sốphần
tuổi con là 5 – 4 = 1(phần). Do đó hiện nay sốphần tuổi của 2 cha con là 5 + 1 = 6
(phần)     
Ta có sơ đồ:
Tuổi cháu hiện nay:
Tuổi cháu sau 12 năm:
Tuổi con hiện nay:
Tuổi con trước 6 năm:
Tuổi cha sau này:
36 tuổi
Tuổi cha hiện nay:
Tuổi con sau này:
Tuổi con hiện nay:
www.vnmath.com
18
Vậy tuổi con hiện nay là 36 : 6 = 6 (tuổi).
Tuổi cha hiện nay là 36 – 6 = 30 (tuổi).
Bài 4:
Năm nay, tuổi bốgấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm vềtrước, tuổi bốgấp
8,2 lần tuổi con. Hỏi khi tuổi bốgấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?
Hd:
Tuổi bốhiện nay hơn tuổi con sốlần là: 2, 2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay).
Tuổi bốcách đây 25 năm hơn tuổi con sốlần là 8, 2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc
đó).
Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi con hiện nay = 7,2 lần tuổi con lúc đó.
Tuổi con hiện nay gấp tuổi con 25 năm trước sốlần là: 7,2 : 1,2 = 6 (lần).
Ta có sơ đồ:
Tuổi con hiện nay là: 25 : (6 – 1) 6 = 30 (tuổi).
Tuổi bốhiện nay là : 30 2,2 = 66 (tuổi).
Hiệu sốtuổi của 2 bốcon hiên nay là: 66 – 30 = 36 (tuổi)
Ta có hiệu sốtuổi của 2 bốcon khi tuổkhi bốgấp 3 lần tuổi con là 2 lần tuổi con
khi đó. Do đó 2 lần tuổi con sau này = 36 tuổi
Vậy tuổi con khi đó là: 36 : 2 = 18 (tuổi)
Bài 5:
Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi
con. Tính tuổi của cha và của con hiện nay
Hd:
 Ta có: Hiệu sốtuổi của 2 cha con hiên nay là 3 lần tuổi con hiện nay
Hiệu sốtuổi của 2 cha con trước đây 6 năm là 12 lần tuổi con khi đó
Vậy: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước đây.
Ta có sơ đồ:
Tuổi con trước đây là 6 : (4 – 1) 1 = 2 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là : 8 4 = 32 (tuổi).   
Bài 6:
Tuổi bà năm nay gấp 4,2 lần tuổi cháu. Mười năm vềtrước, tuổi bà gấp 10,6 lần
tuổi cháu. Tính tuổi bà và tuổi cháu hiện nay.
Tuổi con hiện nay:
Tuổi con trước đây:
25
6
Tuổi con trước đây:
Tuổi con hiện nay:
www.vnmath.com
19
Hd:
Vì hiệu sốtuổi của hai bà cháu không thay đổi theo thời gian nên 3,2 lần tuổi
cháu hiện nay = 9,6 lần tuổi cháu 10 năm trước.
Hay tuổi cháu hiện nay = 3 lần tuổi cháu 10 năm trước.
Vậy tuổi cháu hiện nay là: (10 : 2) 3 = 15 (tuổi).
Tuổi bà hiện nay là :15 4,2 = 63 (tuổi)   
Bài 7:
Năm nay, tuổi bác gấp 3 lần tuổi cháu. Mười lăm năm vềtrước, tuổi bác gấp 9
lần tuổi cháu. Hỏi khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì cháu bao nhiêu tuổi?
Hd:
Tuổi bác hiện nay hơn tuổi cháu sốlần là: 3 – 1 = 2 (lần tuổi cháu hiện nay).
Tuổi bác cách đây 15 năm hơn tuổi cháu sốlần là 9 – 1 = 8 (lần tuổi cháu lúc
đó).
Vậy suy ra: 2 lần tuổi cháu hiện nay = 8 lần tuổi cháu lúc đó.
Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 4 lần tuổi cháu lúc đó.
Tuổi cháu hiện nay là: 15 : (4 – 1) 4 = 20 (tuổi).
Tuổi bác hiện nay là: 20 3 = 60 (tuổi).
Khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì tuổi cháu là: 40 : 2 1 = 40 (tuổi).
Bài 8:
Năm nay, tuổi mẹgấp 2,5 lần tuổi con. Nhưng 6 vềtrước, tuổi mẹgấp 4 lần tuổi
con. Tính tuổi của 2 mẹcon hiện nay?
Hd:
Hiệu sốtuổi của 2 mẹcon hiện nay là: 2,5 – 1, 5 = 1,5 (lần tuổi con hiện nay).
Hiệu sốtuổi của 2 mẹcon trước đây 6 năm là: 4 – 1 = 3 (lần tuổi con lúc đó).
Vậy suy ra: 1, 5 lần tuổi con hiện nay = 3 lần tuổi con trước đây.
Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 2 lần tuổi cháu lúc đó.
Ta có sơ đồ:
Tuổi con hiện nay là: 6 : (2 – 1) 2 = 12 (tuổi).
Tuổi mẹhiện nay là: 12 2,5 = 30 (tuổi).
Bài 9:
Năm nay anh 27 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của anh bằng tuổi của em hiện nay
thì tuổi của anh chỉbằng nửa tuổi của anh khi đó. Tính tuổi của em hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây
Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây
Hiệu sốtuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây.
Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1)
lần tuổi của em trước đây. Do đó có sơ đồsau:
Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi anh hiện nay:
27
6
Tuổi con trước đây:
Tuổi con hiện nay:
www.vnmath.com
20
Tuổi của em hiện nay là: 27 : 3 2 = 18 (tuổi)
Bài 10:
Hiện nay tổng sốtuổi của 2 anh và em là 20 tuổi. Biết rằng tuổi của em hiện nay
gấp 2 lần tuổi của em khi anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây
Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây
Hiệu sốtuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây.
Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1)
lần tuổi của em trước đây. Do đó có sơ đồsau:
Tuổi của em hiện nay là: 20 : (3 + 2)2 = 8 (tuổi)
  Tuổi của anh hiện nay là: 20 – 8 = 12 (tuổi)
Bài 11:
Hiện nay tổng sốtuổi của 2 anh và em là 15 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng
tuổi của anh hiện nay thì tuổi của anh gấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người
hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi của anh sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này
Tuổi của anh hiện nay bằng tuổi của em sau này
Hiệu sốtuổi của 2 anh em sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà
hiệu sốtuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi
của em sau này. Do đó có sơ đồsau:
Tuổi của em hiện nay là: 15 : (1 + 2)2 = 6 (tuổi)
  Tuổi của anh hiện nay là: 15 – 6 = 9 (tuổi)
Bài 12:
Hiện nay An nhiều hơn Bình 14 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi
tuổi của Bình bằng tuổi của An hiện nay thì tuổi của An bằng
3
5
lần tuổi của Bình khi đó.
Hd:
Theo bài ra ta có:
Tuổi của An sau này bằng
3
5
lần tuổi của Bình sau này
Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi anh hiện nay:
20
Tuổi em hiện nay:
Tuổi anh hiện nay:
Tuổi em sau này:
Tuổi anh sau này:
15
www.vnmath.com
21
Hiệu sốtuổi của 2 người sau này bằng
52- 1 =
33lần tuổi của Bình sau này
Tuổi của An hiện nay bằng 1 lần tuổi của Bình sau này
Suy ta tuổi của Bình hiện nay bằng
21 1 -  =
33lần tuổi của Bình sau này
Vậy ta có sơ đồnhưsau:
Theo sơ đồtrên ta có:
Tuổi của An hiện nay là: 14 : (3 – 1) ×3 = 21 (tuổi)
Tuổi của Bình hiện nay là: 14 : (3 – 1) ×1 = 7 (tuổi)
Bài 13:
Hiện nay Hùng nhiều hơn Minh 12 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng
khi tuổi của Minh bằng tuổi của Hùng hiện nay thì tuổi của Minh bằng
5
3
lần tuổi của
Hùng khi đó.
Hd:
Theo bài ra ta có:
Tuổi của Hùng sau này bằng
3
5
lần tuổi của Minh sau này
Hiệu sốtuổi của 2 người sau này bằng
52- 1 =
33lần tuổi của Minh sau này
Tuổi của Hùng hiện nay bằng 1 lần tuổi của Minh sau này
Suy ta tuổi của Minh hiện nay bằng
21 1 -  =
33lần tuổi của Minh sau này
Vậy ta có sơ đồnhưsau:
Theo sơ đồtrên ta có:
Tuổi của Hùng hiện nay là:  12 : (3 – 1) ×3 = 18 (tuổi)
Tuổi của Minh hiện nay là: 12 : (3 – 1) ×1 = 6 (tuổi)
Bài 14:
Hiện nay tuổi của bốgấp 4 lần tuổi của con và tổng sốtuổi của 2 bốcon là 50 tuổi.
Hỏi sau bao nhiêu năm nữa tuổi bốgấp 2 lần tuổi con?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi Bình hiện nay:
Tuổi An hiện nay:
Tuổi Bình sau này:
Tuổi An sau này:
14
Tuổi Minh hiện nay:
Tuổi Hùng hiện nay:
Tuổi Minh sau này:
Tuổi Hùng sau này:
12
www.vnmath.com
22
Tuổi của bốhiện nay là: 50 : (4 + 1) ×4 = 40 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là: 50 : (4 + 1) ×1 = 10 (tuổi)
Hiệu sốtuổi của 2 bốcon hiện nay là 40 – 10 = 30 (tuổi)
Hiệu sốtuổi của 2 bốcon sau này bằng 1 lần tuổi của con sau này
Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 1 lần tuổi
của con sau này bằng 30 tuổi. Do đó có sơ đồvềmối quan hệgiữa tuổi con hiện nay và
sau này nhưsau:   
Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 - 1)1 = 10 (tuổi)
  Vậy sốnăm sau đó đểtuổi bốgấp 2 lần tuổi con là: 30 – 10 = 20 (năm)
Bài 15:
Hiện nay tuổi của bốgấp 4 lần tuổi của con và sau 20 năm nữa tuổi của bốgấp 2
lần tuổi con. Tính tuổi của hai bốcon hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Hiệu sốtuổi của 2 bốcon hiện nay bằng 3 lần tuổi của con hiện nay
Hiệu sốtuổi của 2 bốcon sau 20 năm bằng 1 lần tuổi của con khi đó
Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 3 lần tuổi
của con hiện nay bằng 1 lần tuổi của con sau 20 năm. Do đó có sơ đồvềmối quan hệ
giữa tuổi con hiện nay và sau này nhưsau:
Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 - 1)1 = 10 (tuổi)
  Tuổi của bốhiện nay là: 10 ×4 = 40 (tuổi)
Bài 16:
Hiện nay tổng sốtuổi của 2 bốcon là 50 tuổi gấp và biết rằng sau 20 năm nữa tuổi
của bốgấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi của hai bốcon hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tổng sốtuổi của 2 bốcon hiện nay bằng 50 tuổi
Vậy tổng sốtuổi của 2 bốcon sau 20 năm là:
2 ×20 + 50 = 90 (tuổi)
Mà sau 20 năm tuổi bốgấp 2 lần tuổi con. Nhưvậy ta đã đưa bài toán về
dạng toán tìm 2 sốkhi biết tổng bằng 90 và tỷsốlà
1
2
. Do đó ta tính được tuổi con sau
20 năm nhưsau:     
Tuổi của con sau 20 năm là:
90 tuổi : ( 2 + 1)× 1 = 30 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là: 30 - 20 = 10 (tuổi)
  Tuổi của bốhiện nay là: 50 - 10 = 40 (tuổi)
Bài 17:
Hiện nay chịhơn em 7 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chịhiện nay
thì tuổi của chịgấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi con hiện nay:
Tuổi con sau 20 năm:
20 năm
www.vnmath.com
23
Tuổi của chi sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này
Tuổi của chịhiện nay bằng tuổi của em sau này
Hiệu sốtuổi của 2 chịem sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà
hiệu sốtuổi của 2 người không đổi, nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi
của em sau này. Do đó có sơ đồsau:
Tuổi của em hiện nay là: 7 : (2 - 1)1 = 7 (tuổi)
  Tuổi của anh hiện nay là: 7 + 7 = 14 (tuổi)
Bài 18:
Năm nay chị25 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của chịbằng tuổi của em hiện nay
thì tuổi của em chỉbằng
1
3
tuổi của chịkhi đó. Tính tuổi của em hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi của chịtrước đây gấp 3 lần tuổi của em trước đây
Tuổi của em hiện nay gấp 3 lần tuổi của em trước đây
Hiệu sốtuổi của 2 chịem trước đây tuổi bằng 2 lần tuổi của em trước đây.
Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của chịhiện nay gấp (3 + 2) lần
tuổi của em trước đây.
Do đó có sơ đồsau:
Tuổi của em hiện nay là: 25 : 5 3 = 15 (tuổi)
Bài 19:
Năm nay em 4 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của em bằng tuổi của chịhiện nay thì
tuổi của em chỉbằng
3
5
tuổi của chịkhi đó. Tính tuổi của chịhiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi của chịsau này bằng
5
3
lần tuổi của em sau này
Tuổi của chịhiện nay bằng 1 lần tuổi của em sau này
Hiệu sốtuổi của 2 chịem sau này tuổi bằng
52- 1 =
33lần tuổi của em sau
này. Mà hiệu sốtuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng
21 1 -  =
33lần tuổi của em sau này. Do đó có sơ đồsau:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi chịhiện nay:
Tuổi em sau này:
Tuổi chịsau này:
7
Tuổi em trước đây:
Tuổi chịtrước đây:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi chịhiện nay:
25
Tuổi em hiện nay:
Tuổi chịhiện nay:
Tuổi em sau này:
Tuổi chịsau này:
4
www.vnmath.com
24
Tuổi của chịhiện nay là: 4 : 1 3 = 12 (tuổi)
Bài 20:
Hiện nay chịhơn em 6 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chịhiện nay
thì tuổi của chịgấp 3 lần tuổi của em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay?
Hd:
 Theo bài ra ta có:
Tuổi chịhiện nay bằng tuổi em sau này.
Hiệu sốtuổi của 2 chịem hiện nay và sau này đều bằng 6 tuổi.
Do đó suy ra:
Suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = Tuổi của chịsau này
Mà ta biết rằng: Tuổi của chịsau này gấp 3 lần tuổi em hiện nay.
Vậy suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = 3 ×Tuổi của em hiện nay
2 ×Tuổi của em hiện nay = 12 (tuổi)
Tuổi của em hiện nay là: 12 : 2 = 6 (tuổi)
 Tuổi của chịhiện nay là: 6 + 6 = 12 (tuổi)   
Bài 21:
Tính tuổi của hai anh em hiện nay. Biết rằng 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là
2 tuổi và 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi
Hd:
 Theo bài ra ta có:
50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi
100% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 14 tuổi
Mà 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi
100% - 62,5% = 37,5% tuổi anh là 14- 2 = 12 tuổi
Vậy tuổi anh là: 12 : 37,5 ×100 = 32 (tuổi)
75% tuổi em hiện nay là: 32 - 14 = 18 (tuổi)
Tuổi em hiện nay là: 18 : 75 ×100 = 24 (tuổi)
§4. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Bài 1:
Hai thành phốcách nhau 186 km. Lúc 6 giờmột người đi xe máy từA với vận
tốc 30 km/giờbềB, lúc 7 giờmột người đi xe máy từB với vận tốc 35 km/giờvềA.
Hỏi lúc mấy giờthì hai người gặp nhau và chỗgặp nhau cách A bao nhiêu km?
Hd:
Khi người thứ2 xuất phát thì người thứnhất cách B là 186 – 30 = 156 (km).
Quãng đường 2 người đi được trong 1 giờlà 30 + 35 = 65 (km).
Thời gian để2 người gặp nhau là  24 2 ) (
5
2
2 65 : 156
h
h   phút.
30 km  156 km
C  B  A
Tuổi của em hiện nay + 6 tuổi = Tuổi của em sau này
Tuổi của em sau này + 6 tuổi = Tuổi của chịsau này
www.vnmath.com
25
7
h
+ 2
h
24 = 9
h
24. Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ24 phút.
Quãng đường từA đến địa điểm gặp nhau là  ) ( 102 30
5
2
2 30 km    .
Bài 2:
 Một ô tô chạy từA đến B. Nếu chạy mỗi giờ60 km thì ô tô sẽ đến B lúc 14 giờ.
Nếu chạy mỗi giờ40 km thì ô tô sẽ đến B lúc 16 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm
xem trung bình mỗi giờô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 15 giờ?
Hd:
Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm
đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 40 km/h gấp 1, 5 lần thời gian đi
với vận tốc 40 km/h. Ta có sơ đồsau:
Quãng đường AB dài là 60 2 2 = 240 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ôtô phải chạy 240 : 5 = 48 (km)
Bài 3:
Một ô tô chạy từA đến B mất 2 giờ. Một xe máy chạy từB đến A mất 3 giờ. Hãy
tính quãng đường AB, biết vận tốc của ô tô hơn vận tốc của xe máy là 20km/giờ. Nếu
hai xe khởi hành cùng một lúc thì chúng gặp nhau tại cùng một địa điểm cách A bao
nhiêu km?
Hd:
Tỉsốthời gian của ô tô và xe máy là
2
3
. Do trên cùng một quãng đường thời
gian tăng lên bao nhiêu lần thì vận tốc giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có sơ đồ:
Vận tốc xe máy:
Vận tốc ô tô:
Vận tốc ô tô là : 20 3 = 60 (km/giờ).
Vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/giờ).
Quãng đường AB là 60 2 = 120 (km).
Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sẽgặp nhau sau một thời gian là
120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ)
Địa điểm gặp nhau cách A là 60 1,2 = 70 (km).
Bài 4:
Một ô tô chạy từA đến B. Nếu chạy mỗi giờ55 km thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ.
Nếu chạy mỗi giờ45 km thì ô tô sẽ đến B lúc 17 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm
xem trung bình mỗi giờô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ?
Hd:
Tỉsốvận tốc của ô tô và xe máy đi trên quãng đường AB là
55 11
45 9
 . Do trên
cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu
lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 45 km/h bằng
11
9
lần thời gian đi với vận tốc 55
km/h . Do đó ta có sơ đồ:
Thời gian đi với vận tốc 55 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 45 km/h:
2 giờ
20 km/h
2 giờ
Thời gian đi với vận tốc 60 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 40 km/h:
www.vnmath.com
26
Quãng đường AB dài là 55 (2 : 2) 9 = 495 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ô tô phải ch�